<Hilbert Book Model Project/nl

Fourier Transformaties

edit

Fourier ruimtes

edit

In een oneindig dimensionale Hilbertruimte, een Fourier-transformatie bewerkstelligt een volledige transformatie van een oude orthonormale basis    naar een andere orthonormale basis  , zodanig dat geen van de nieuwe basisvectoren geschreven kan worden als een lineaire combinatie die niet alle oude basisvectoren bevat

De basisvector    is eigenvector is van een normale operator   met eigenwaarden  . Basis   is orthonormaal.

 

Ook de basisvector   is eigenvector is van een normale operator   met eigenwaarden  . Basis   is ook orthonormaal.

 

Het inproduct   is een functie van zowel de   als de   coördinaten

Vergeet niet dat de functie    ten opzichte van een orthonormale basis    met behulp van de corresponderende operator   weergegeven kan worden als

 

 

 

 

 

 

 

Deze vergelijkingen beschrijven Fouriertransformatie paren   en hetzelfde continuüm  . Dat continuüm   wordt zowel voorgesteld door   als door   en deze functies komen overeen met de operatoren   en  . Op deze wijze beschrijven   en   hetzelfde ding en dat is het continuüm  .

Het inproduct   is een functie die aan de volgende gevolgtrekkingen voldoet.

  • Convolutie van functies in de oude basis   representatie wordt vermenigvuldiging in de nieuwe basis   representatie.
  • Evenzo convolutie van functies in de nieuwe basis    representatie wordt vermenigvuldiging in de oude basis   representatie.
  • Differentiatie in de oude basis representatie wordt vermenigvuldiging met de nieuwe coördinaat in de nieuwe basis representatie.
  • Evenzo wordt differentiatie in de nieuwe basis representatie vermenigvuldiging met de oude coördinaat in de oude basis representatie.
Inwendige producten
edit

Onthoudt dat

 

 

Complexe Fourier transformatie

edit

Fourier transformatie is goed bekend voor voor complexe functies. We zullen deze kennis toepassen door het opzetten van complexe parameter ruimten binnen de quaternionische achtergrondparameterruimte.

Als een   axis as langs de genormaliseerde vector   door de quaternionische achtergrondparameterruimte wordt getrokken, dan gelden

 

 

Hier speelt   de rol van parameter   langs richting   en speelt   de rol van parameter   langs richting  .

Vector   kan in een willekeurige richting gekozen worden en kan op een willekeurige locatie in het quaternionische achtergrondparameterruimte aangrijpen,

Het inprodukt   heeft betrekking op een twee-parametrische functie die in de richting van   correspondeert met  

Hier zijn   en   complexe functies met complex imaginaire basisgetal  .

Quaternionische Fourier transformatie

edit

Meer in het algemeen moet de specificatie van de quaternionische Fourier transformatie omgaan met het niet-commuteren van de vermenigvuldiging van quaternionische functies.

 

 

We zien in de formules dat deze methode slechts een rotatie van parameterruimtes en functies tot stand brengt. In de op complexe getallen gebaseerd Hilbertruimte, zou het geen enkele verandering teweegbrengen. De Fourier transformatie installeert slechts een gedeeltelijke rotatie. Dit resulteert in een links en rechts georiënteerde Fourier-transformaties.

edit

De links georiënteerde Fourier-transformatie   heeft een inverse  .

 

 

De links georiënteerde Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:

 

Voor twee leden   en   van een orthonormale basis   geldt

 

Voor twee leden   en   van een orthonormale basis  geldt

 

 

 

De omgekeerde transformatie wordt gegeven door

 

 

Rechts georiënteerde Fourier-transformatie
edit

Hetzelfde geldt voor de rechts georiënteerde Fourier-transformatie

 

 

Conclusie

edit

De toegevoegde waarde van de rechter en linker georiënteerde Fourier transformaties is laag. De op complex getallen gebaseerde Fourier-transformatie heeft voor de spectrale analyse van continuüms een veel grotere waarde. Dan moet de analyse wel tot één enkele richting per onderzoek beperkt worden,

Belangrijk is het feit dat de Fourier-transformatie-paren   hetzelfde continuüm   beschrijven .