Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/Fourier Transform/de

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Fourier Transformation

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Fourier Räume

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In einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum erreicht eine Fourier-Transformation eine vollständige Transformation einer alten orthonormalen Basis   zu einer anderen orthonormalen Basis  , so dass keiner der neuen Basenvektoren als eine lineare Kombination geschrieben werden kann, die nicht alle alten Basenvektoren enthält.

Der Basisvektor   ist Egenvektor eines normalen Operators   mit Eigenwerten  . Basis   ist orthonormal.

 

Ähnlich ist der Basisvektor    Eigenvektor eines normalen Operators   mit Eigenwerten  . Basis   ist orthonormal.

 

Das innere Produkt   Ist eine Funktion beider   und   Koordinaten.

Denken Sie daran, diese Funktion   kann in Bezug auf eine orthonormale Basis   und operator   dargestellt werden wie

 

 

 

 

 

 

 

Diese Gleichungen beschreiben Fourier-Transformationspaare   und das gleiche Kontinuum  . das Kontinuum   wird durch   dargestellt als auch von   und diese Funktionen entsprechen jeweils den Operatoren   und  . Damit   and   Beschreiben dasselbe, was das Kontinuum   ist.

Das innere Produkt   Ist eine Funktion, die die folgenden Folgerungen erfüllt.

  • Faltung der Funktionen in der alten Basis   Darstellung wird Multiplikation in der neuen Basis   Darstellung.
  • Ähnlich ist die Faltung der Funktionen in der neuen Basis    Darstellung wird Multiplikation in der alten Basis   Darstellung.
  • Die Differenzierung in der alten Basisdarstellung wird durch die neue Koordinate in der neuen Basisdarstellung multipliziert.
  • Ähnlich wird die Differenzierung in der neuen Basisdarstellung durch die alte Koordinate in der alten Basisdarstellung multipliziert
Innere Produkte
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Erinnere dich daran

 

 

Komplexe Fourier-Transformation

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Die Fourier-Transformation ist für komplexe Funktionen gut etabliert. Wir werden dieses Wissen durch die Einrichtung komplexer Parameterräume innerhalb des quaternionischen Hintergrundparameterraums anwenden

Wenn ein   Achse entlang des normalisierten Vektors   durch den quaternionischen Hintergrundparameterraum gezeichnet wird gilt

 

 

Hier spielt   Spielt die Rolle des Parameters   entlang Richtung   und spielt   die Rolle des Parameters   entlang Richtung  . Vektor   Kann in einer beliebigen Richtung aufgenommen werden und kann an einer beliebigen Stelle im quaternionischen Hintergrundparameterraum beginnen.

Das innere Produkt   bezieht sich auf eine zwei parametrische Funktion, die entlang der Richtung   die Funktion   entspricht.

Hier sind   und   komplexe Funktionen mit komplexer imaginärer Basiszahl  .

Quaternionische Fourier Transformation

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Im Allgemeinen muss die Spezifikation des quaternionischen Fourier mit der nicht-kommutierende Multiplikation von quaternionischen Funktionen umgehen.

 

 

Wir sehen in den Formeln, dass diese Methode lediglich eine Rotation von Parameterräumen und Funktionen erreicht. In der komplexen Zahl basierte Hilbert Raum, würde es überhaupt keine Veränderung zu erreichen.

Die Fourier-Transformation installiert nur eine partielle Rotation. Dies führt zu links und rechts orientierten Fourier Transformationen.

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Die linksorientierte Fourier-Transformation   Hat eine umgekehrte  .

 

 

Die linksorientierte Fourier Transformation ist definiert durch:

 

Für zwei Mitglieder   und   einer orthonormalen Basis   Hält

 

Für zwei Mitglieder   and   einer orthonormalen Basis   Hält

 

 

 

Die umgekehrte Transformation ist gegeben durch

 

 

Rechts orientierte Fourier Transformation 
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Ähnlich für die rechtsorientierte Fourier-Transformation

 

 

Fazit

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Der zusätzliche Wert der rechtsorientierten und linksorientierten Fourier Transformationen ist gering. Die komplexe Zahl-basierte Fourier Transformation hat viel mehr Wert für die Spektralanalyse von Kontinuums. Doch diese Analysen beschränken sich dann pro Fall auf eine einzige Richtung ,

Wichtig ist die Tatsache, dass Fourier-Transformationspaare    beschreiben das gleiche Kontinuum  .