Hilbert Book Model Project/Dirac Equation/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

De Diracvergelijking

In zijn oorspronkelijke vorm, is de Diracvergelijking een complexe vergelijking die spinoren, matrices en partiële afgeleiden gebruikt.

Dirac zocht naar een splitsing van de Klein-Gordonvergelijking in twee eerste orde differentiaalvergelijkingen.

${\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {t}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {x}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {y}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {z}^{2}}}=-m^{2}f$

(1)

$(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f=\Box f=-m^{2}f$

(2)

Hier is $\Box$ de d’Alembert operator.

Dirac gebruikt een combinatie van matrices en spinors om dit resultaat te bereiken. Hij gebruikte de Pauli matrices om het gedrag van vector functies onder differentiatie te simuleren.

De eenheidsmatrix $I$ en de Pauli matrices $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ worden gegeven door:

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$; $\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$; $\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\end{bmatrix}}$; $\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$; $\mathbb {I} ={\sqrt {-1}}$

(3)

Voor een van de mogelijke ordeningen van het quaternionische getalsysteem relateren de Pauli-matrix samen met de eenheidsmatrix aan de quaternionische basisvectoren $1,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$.

$I\mapsto 1,\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {i}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {j}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {k}}$

(3)

$\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{1}=2\mathbb {I} \sigma _{3};\quad \sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{2}=2\mathbb {I} \sigma _{1};\quad \sigma _{3}\sigma _{1}-\sigma _{1}\sigma _{3}=2\mathbb {I} \sigma _{2}$

(4)

$\sigma _{1}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{3}=I$

(5)

In plaats van de gebruikelijke $\left\{{\frac {\partial {}}{\partial {\tau }}},{\vec {i}}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}},{\vec {j}}{\frac {\partial {}}{\partial {y}}},{\vec {k}}{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}\right\}$ willen we de operatoren $\nabla =\{\nabla _{r},{\vec {\nabla }}\}$ benutten. Het subscript $_{r}$ indiceert het scalaire deel. De operator $\nabla$ heeft betrekking op de toegepaste parameterruimte. Dit betekent dat de parameterruimte ook is geconfigureerd met combinaties $q=\{q_{r},{\vec {q}}\}$ van een scalar $q_{r}$ en een vector ${\vec {q}}$. Ook de functies $f=\{f_{r},{\vec {f}}\}$ kunnen worden gesplitst in scalaire functies $f_{r}$ en vectorfuncties ${\vec {f}}$.

De verschillende ordeningsmogelijkheden van het quaternionische getalsysteem corresponderen met verschillende symmetrie-aromas. De helft van deze mogelijkheden biedt een rechtshandig externe vectorproduct. De andere helft biedt een linkshandig externe vectorproduct.

Pauli matrices implementeren het kruis productgedrag van driedimensionale vectoren. De keuze tussen rechtshandig en linkshandig vectorproduct kan tot een 4x4 dimensionale matrix voeren.

We zullen de impulsmoment operator gebruiken om de nabla-operator te vertegenwoordigen:

$p_{\mu }=-\mathbb {I} \,{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}$

(6)

$p_{\mu }\,\sigma _{\mu }=-\,e_{\mu }{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}$

(7)

$\langle {\vec {\sigma }},{\vec {p}}\rangle \Leftrightarrow \mathbb {I} {\vec {\nabla }}$

(8)

$(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\boxdot$

(9)

$(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\Box$

(10)

Deze twee vergelijkingen verhullen dat het uitwendig product rechts of linkshandig kan zijn.

$\phi =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi$

(11)

$\zeta =(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\phi$

(12)

$\zeta =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi =\Box \psi$

(13)

Aldus correspondeert dit met de Klein-Gordonvergelijking als

$\zeta =\Box \psi =-m^{2}\psi$

(14)

We kunnen dit in twee eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen splitsen.

$D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,f_{B}$

(15)

$D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,f_{A}$

(16)

$\Box \,f_{A}=D_{-}D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{A}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{A}$

(17)

Op dezelfde wijze

$\Box \,f_{B}=D_{+}D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{B}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{B}$

(18)

Dirac’s benadering

De originele Diracvergelijking gebruikt 4x4 matrices  ${\vec {\alpha }}$ en $\beta$.

${\vec {\alpha }}$ en $\beta$ zijn matrices die het rekenkundige gedrag, inclusief de mogelijke symmetrie-aromas van quaternionische getalstelsels en quaternionische continuüms implementeren

$\alpha _{\mu }={\begin{bmatrix}0&\sigma _{\mu }\\\sigma _{\mu }&0\end{bmatrix}}$

(19)

$\beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

(20)

$\beta \beta =1$

(21)

De interpretatie van de Pauli-matrix als een representatie van een speciaal soort impulsmoment heeft geleid tot de halftallige eigenwaarde van de overeenkomstige spin-operator.

Dirac's selectie leidt tot  

$(p_{r}-\langle {\vec {\alpha }},{\vec {p}}\rangle -\beta mc){\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\varphi _{4}\end{bmatrix}}=0$

(22)

$[\varphi ]$ is een vier-component-spinor.

Deze vergelijking splits niet op in twee eerste-orde partiële differentiaalvergelijkingen. Met behulp van gamma matrices kan dit genezen worden.

$\quad \gamma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};\quad \gamma _{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}$

(23)

$\gamma _{\mu }=\beta \,\alpha _{\mu };\quad \gamma _{0}=\beta ;\quad \gamma _{5}=\mathbb {I} \,\gamma _{0}\,\gamma _{1}\,\gamma _{2}\,\gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

(24)

${\biggl (}\gamma _{5}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-\gamma _{1}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-\gamma _{2}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-\gamma _{3}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}[\varphi ]=0$

(25)

${\biggl (}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}{\begin{bmatrix}\varphi _{A}\\\varphi _{B}\end{bmatrix}}=0$

(26)

Dit keer is $[\varphi ]$ een twee-component-spinor. De vergelijking splits nu in

$D_{+}\,\varphi _{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{A}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{B}$

(27)

$D_{-}\,\varphi _{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{B}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{A}$

(28)

De spinors ${\textstyle \varphi _{A}}$ en ${\textstyle \varphi _{B}}$ zijn geen quaternionische velden. In plaats daarvan zijn het combinaties van velden die verschillende symmetrie vertonen. De velden verschillen in de manier waarop zij de richting van voortgang verwerken.

De spinors ${\textstyle \varphi _{1}}$, ${\textstyle \varphi _{2}}$, ${\textstyle \varphi _{3}}$, and ${\textstyle \varphi _{4}}$ verschillen ook in de rechts- of linkshandige behandeling van het uitwendig product. Daarmee vormen ze vier verschillende combinaties van het verwerken van progressie en rechts-linkshandigheid van het uitwendig product.

De symmetrie-aromas van de parameterruimtes combineren 16 verschillende symmetrie-aromas . Deze verschillen hebben betrekking op de vier verschillen van de spinoren. De spinoren kunnen verschillen in anisotropie niet weergeven.

Interpretatie

Volgens conventionele natuurkunde, verdeelt de splitsing de Klein-Gordon tweede orde partiële differentiaal vergelijking in een eerste orde partiële differentiaalvergelijking voor het elektron en een eerste orde partiële differentiaalvergelijking voor het positron. Echter, deze vergelijkingen zijn geen quaternionische eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen.

In plaats daarvan, de kan vergelijking

$\zeta =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\psi =\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi ={\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {t}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {y}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {z}^{2}}}=\boxdot \,\psi$

(29)

juist wel in twee quaternionische eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen splitsen

$\phi =\nabla \psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})\psi$

(30)

$\zeta =\nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\phi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\boxdot \psi$

(31)

De conventionele natuurkunde heeft deze vergelijking en dus ook de splitsing nog niet gevonden.