In ihrer ursprünglichen Form ist die Dirac-Gleichung eine komplexe Gleichung, die Spinoren, Matrizen und partielle Ableitungen verwendet.
Dirac suchte nach einer Spaltung der Klein-Gordon-Gleichung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung.
∂
2
f
∂
t
2
−
∂
2
f
∂
x
2
−
∂
2
f
∂
y
2
−
∂
2
f
∂
z
2
=
−
m
2
f
{\displaystyle {\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {t}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {x}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {y}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {z}^{2}}}=-m^{2}f}
(1 )
(
∇
r
∇
r
−
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
)
f
=
◻
f
=
−
m
2
f
{\displaystyle (\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f=\Box f=-m^{2}f}
(2 )
Hier ist
◻
{\displaystyle \Box }
die d’Alembert Operator .
Dirac benutzte eine Kombination von Matrizen und Spinoren, um dieses Ergebnis zu erreichen. Er wandte die Pauli-Matrizen an, um das Verhalten von Vektorfunktionen unter Differenzierung zu simulieren.
Die Einheitsmatrix
I
{\displaystyle I}
und die Pauli Matrizen Sind gegeben durch:
I
=
[
1
0
0
1
]
{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
;
σ
1
=
[
0
1
1
0
]
{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}
;
σ
2
=
[
0
−
I
I
0
]
{\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\end{bmatrix}}}
;
σ
3
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
;
I
=
−
1
{\displaystyle \mathbb {I} ={\sqrt {-1}}}
(3 )
Für eine der potentiellen Ordnungen des quaternionischen Zahlensystems beziehen die Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix
I
{\displaystyle I}
sich auf die quaternionischen Basisvektoren
1
,
i
→
,
j
→
,
k
→
{\displaystyle 1,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}
.
I
↦
1
,
σ
1
↦
I
i
→
,
σ
1
↦
I
j
→
,
σ
1
↦
I
k
→
{\displaystyle I\mapsto 1,\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {i}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {j}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {k}}}
(3 )
σ
1
σ
2
−
σ
2
σ
1
=
2
I
σ
3
;
σ
2
σ
3
−
σ
3
σ
2
=
2
I
σ
1
;
σ
3
σ
1
−
σ
1
σ
3
=
2
I
σ
2
{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{1}=2\mathbb {I} \sigma _{3};\quad \sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{2}=2\mathbb {I} \sigma _{1};\quad \sigma _{3}\sigma _{1}-\sigma _{1}\sigma _{3}=2\mathbb {I} \sigma _{2}}
(4 )
σ
1
σ
1
=
σ
2
σ
2
=
σ
3
σ
3
=
I
{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{3}=I}
(5 )
Statt der üblichen
{
∂
∂
τ
,
i
→
∂
∂
x
,
j
→
∂
∂
y
,
k
→
∂
∂
z
}
{\displaystyle \left\{{\frac {\partial {}}{\partial {\tau }}},{\vec {i}}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}},{\vec {j}}{\frac {\partial {}}{\partial {y}}},{\vec {k}}{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}\right\}}
Wollen wir die Operatoren
∇
=
{
∇
r
,
∇
→
}
{\displaystyle \nabla =\{\nabla _{r},{\vec {\nabla }}\}}
benutzen.
Der Index
r
{\displaystyle _{r}}
zeigt den Skalarteil an. Der Operator
∇
{\displaystyle \nabla }
bezieht sich auf den angewandten Parameterraum. Dies bedeutet, dass der Parameterraum auch aus Kombinationen
q
=
{
q
r
,
q
→
}
{\displaystyle q=\{q_{r},{\vec {q}}\}}
von eines Skalars
q
r
{\displaystyle q_{r}}
und einen Vektor
q
→
{\displaystyle {\vec {q}}}
konfiguriert ist . Auch die Funktionen
f
=
{
f
r
,
f
→
}
{\displaystyle f=\{f_{r},{\vec {f}}\}}
können in skalaren Funktionen
f
r
{\displaystyle f_{r}}
und Vektorfunktionen
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
aufgeteilt werden.
Die unterschiedlichen Sortiermöglichkeiten des quaternionischen Zahlensystems entsprechen verschiedenen Symmetrie-Aromen. Die Hälfte dieser Möglichkeiten bietet ein rechtshändiges externes Vektorprodukt. Die andere Hälfte bietet ein linkshändiges externes Vektorprodukt an.
Die Pauli-Matrizen implementieren das Cross-Produkt-Verhalten dreidimensionaler Vektoren. Eine 4X4 dimensionale Matrix kann die Wahl zwischen rechtshändigem und linkshändigem Vektorprodukt implementieren.
Wir werden den Impulsoperator verwenden, um den Nabla-Operator zu repräsentieren:
p
μ
=
−
I
∂
∂
q
μ
{\displaystyle p_{\mu }=-\mathbb {I} \,{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}}
(6 )
p
μ
σ
μ
=
−
e
μ
∂
∂
q
μ
{\displaystyle p_{\mu }\,\sigma _{\mu }=-\,e_{\mu }{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}}
(7 )
⟨
σ
→
,
p
→
⟩
⇔
I
∇
→
{\displaystyle \langle {\vec {\sigma }},{\vec {p}}\rangle \Leftrightarrow \mathbb {I} {\vec {\nabla }}}
(8 )
(
∇
r
+
∇
→
)
(
∇
r
−
∇
→
)
=
∇
r
∇
r
+
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
=
⊡
{\displaystyle (\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\boxdot }
(9 )
(
∇
r
+
I
∇
→
)
(
∇
r
−
I
∇
→
)
=
∇
r
∇
r
−
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
=
◻
{\displaystyle (\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\Box }
(10 )
Diese beiden Gleichungen verbergen die Tatsache, dass das Kreuzprodukt richtig oder linkshändig sein kann.
ϕ
=
(
∇
r
+
I
∇
→
)
ψ
{\displaystyle \phi =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi }
(11 )
ζ
=
(
∇
r
−
I
∇
→
)
ϕ
{\displaystyle \zeta =(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\phi }
(12 )
ζ
=
(
∇
r
+
I
∇
→
)
(
∇
r
−
I
∇
→
)
ψ
=
(
∇
r
∇
r
−
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
)
ψ
=
◻
ψ
{\displaystyle \zeta =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi =\Box \psi }
(13 )
Das entspricht also der Klein-Gordon-Gleichung wenn
ζ
=
◻
ψ
=
−
m
2
ψ
{\displaystyle \zeta =\Box \psi =-m^{2}\psi }
(14 )
Wir können diese in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung aufteilen.
D
+
f
A
=
(
∇
r
+
I
∇
→
)
f
A
=
m
I
f
B
{\displaystyle D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,f_{B}}
(15 )
D
−
f
B
=
(
∇
r
−
I
∇
→
)
f
B
=
m
I
f
A
{\displaystyle D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,f_{A}}
(16 )
◻
f
A
=
D
−
D
+
f
A
=
(
∇
r
∇
r
+
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
)
f
A
=
(
∇
r
−
I
∇
→
)
(
∇
r
+
I
∇
→
)
f
A
=
m
I
(
∇
r
−
I
∇
→
)
f
B
=
−
m
2
f
A
{\displaystyle \Box \,f_{A}=D_{-}D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{A}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{A}}
(17 )
Ähnlich
◻
f
B
=
D
+
D
−
f
B
=
(
∇
r
∇
r
−
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
)
f
B
=
(
∇
r
+
I
∇
→
)
(
∇
r
−
I
∇
→
)
f
B
=
m
I
(
∇
r
+
I
∇
→
)
f
B
=
−
m
2
f
B
{\displaystyle \Box \,f_{B}=D_{+}D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{B}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{B}}
(18 )
Die ursprüngliche Dirac-Gleichung verwendet 4x4 Matrizen
α
→
{\displaystyle {\vec {\alpha }}}
und
β
{\displaystyle \beta }
.
α
→
{\displaystyle {\vec {\alpha }}}
und
β
{\displaystyle \beta }
sind Matrizen, die das quaternionische arithmetische Verhalten implementieren, einschließlich der möglichen Symmetrie-Aromen von quaternionischen Zahlensystemen und Kontinuums.
α
μ
=
[
0
σ
μ
σ
μ
0
]
{\displaystyle \alpha _{\mu }={\begin{bmatrix}0&\sigma _{\mu }\\\sigma _{\mu }&0\end{bmatrix}}}
(19 )
β
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle \beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
(20 )
β
β
=
1
{\displaystyle \beta \beta =1}
(21 )
Die Interpretation der Pauli-Matrizen als Darstellung einer besonderen Art von Drehimpuls hat zu dem halb-integer-Eigenwert des entsprechenden Spinoperators geführt.
Die Auswahl von Dirac führt zu
(
p
r
−
⟨
α
→
,
p
→
⟩
−
β
m
c
)
[
φ
1
φ
2
φ
3
φ
4
]
=
0
{\displaystyle (p_{r}-\langle {\vec {\alpha }},{\vec {p}}\rangle -\beta mc){\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\varphi _{4}\end{bmatrix}}=0}
(22 )
[
φ
]
{\displaystyle [\varphi ]}
ist ein Vier-Komponenten-Spinor.
Diese Gleichung teilt sich nicht in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung auf. Mit gamma Matrizen wird das geheilt.
γ
0
=
[
1
0
0
−
1
]
;
γ
1
=
[
0
σ
1
−
σ
1
0
]
;
γ
2
=
[
0
σ
2
−
σ
2
0
]
;
γ
3
=
[
0
σ
3
−
σ
3
0
]
{\displaystyle \quad \gamma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};\quad \gamma _{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}}
(23 )
γ
μ
=
β
α
μ
;
γ
0
=
β
;
γ
5
=
I
γ
0
γ
1
γ
2
γ
3
=
[
0
1
1
0
]
{\displaystyle \gamma _{\mu }=\beta \,\alpha _{\mu };\quad \gamma _{0}=\beta ;\quad \gamma _{5}=\mathbb {I} \,\gamma _{0}\,\gamma _{1}\,\gamma _{2}\,\gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}
(24 )
(
γ
5
∂
∂
τ
−
γ
1
∂
∂
x
−
γ
2
∂
∂
y
−
γ
3
∂
∂
z
−
m
I
ℏ
)
[
φ
]
=
0
{\displaystyle {\biggl (}\gamma _{5}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-\gamma _{1}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-\gamma _{2}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-\gamma _{3}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}[\varphi ]=0}
(25 )
(
[
0
1
1
0
]
∂
∂
τ
−
[
0
σ
1
−
σ
1
0
]
∂
∂
x
−
[
0
σ
2
−
σ
2
0
]
∂
∂
y
−
[
0
σ
3
−
σ
3
0
]
∂
∂
z
−
m
I
ℏ
)
[
φ
A
φ
B
]
=
0
{\displaystyle {\biggl (}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}{\begin{bmatrix}\varphi _{A}\\\varphi _{B}\end{bmatrix}}=0}
(26 )
Diesmal ist
[
φ
]
{\displaystyle [\varphi ]}
ein zweikomponentiger Spinor. Die Gleichung teilt sich in
D
+
φ
A
=
(
∇
r
+
I
∇
→
)
φ
A
=
m
I
φ
B
{\displaystyle D_{+}\,\varphi _{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{A}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{B}}
(27 )
D
−
φ
B
=
(
∇
r
−
I
∇
→
)
φ
B
=
m
I
φ
A
{\displaystyle D_{-}\,\varphi _{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{B}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{A}}
(28 )
Die Spinoren
φ
A
{\textstyle \varphi _{A}}
und
φ
B
{\textstyle \varphi _{B}}
sind keine quaternionischen Felder. Stattdessen sind sie Kombinationen von Feldern, die unterschiedliche Symmetrie zeigen. Die Felder unterscheiden sich in der Weise, dass sie die Richtung der Progression behandeln.
Die Spinoren
φ
1
{\textstyle \varphi _{1}}
,
φ
2
{\textstyle \varphi _{2}}
,
φ
3
{\textstyle \varphi _{3}}
,und
φ
4
{\textstyle \varphi _{4}}
unterscheiden sich auch in der rechten oder linkshändigen Behandlung des Kreuzproduktes. Auf diese Weise bilden sie vier verschiedene Kombinationen von Behandlung von Fortschritt und die Handlichkeit des Kreuzprodukts.
Die Symmetrie-Aromen der Parameterräume kombinieren 16 verschiedene Symmetrie-Aromen. Diese Unterschiede decken die vier Unterschiede der Spinoren ab. Die Spinoren können keine Anisotropie repräsentieren.
Nach der konventionellen Physik teilt der Split die Klein-Gordon-Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Elektronen- und eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Positronen ein. Diese Gleichungen sind jedoch keine quaternionischen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.
Stattdessen teilt die Gleichung
ζ
=
∇
∗
∇
ψ
=
∇
∇
∗
ψ
=
(
∇
r
+
∇
→
)
(
∇
r
−
∇
→
)
ψ
=
∇
r
∇
r
+
⟨
∇
→
,
∇
→
⟩
ψ
=
∂
2
ψ
∂
t
2
+
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
+
∂
2
ψ
∂
z
2
=
⊡
ψ
{\displaystyle \zeta =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\psi =\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi ={\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {t}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {y}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {z}^{2}}}=\boxdot \,\psi }
(29 )
sich in zwei quaternionische partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.
ϕ
=
∇
ψ
=
(
∇
r
+
∇
→
)
ψ
{\displaystyle \phi =\nabla \psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})\psi }
(30 )
ζ
=
∇
∗
ψ
=
(
∇
r
−
∇
→
)
ϕ
=
∇
∗
∇
ψ
=
⊡
ψ
{\displaystyle \zeta =\nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\phi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\boxdot \psi }
(31 )
In der konventionellen Physik hat diese Gleichung noch keine richtige Interpretation gefunden.