Hilbert Book Model Project/Relational Structures/de

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Relationale Strukturen

Verbände 

Relationale Strukturen sind Sätze, die die Arten ihrer internen Beziehungen einschränken. In der Mathematik gilt "Verband" als Typenname einer Kategorie von relationalen Strukturen.

Ein Verband ist ein Satz von Elementen $a,b,c,....$ der geschlossen ist für die Anschlüsse $\cap$ und $\cup$.

Diese Verbindungen gehorchen

• Das Set ist teilweise geordnet.
  • Dies bedeutet, dass mit jedem Paar von Elementen $a,b$ gehört ein Element  $c$, so dass $a\subset c$ und $b\subset c$.
• Das Set ist ein $\cap$ halbes Verband.
• Dies bedeutet, dass mit jedem Paar von Elementen $a,b$ ein Element $c$ existiert, so dass $c=a\cap b$.
• Das Set ist ein $\cup$ halbes Verband.
  • Dies bedeutet, dass mit jedem Paar von Elementen $a,b$ ein Element $c$ existiert, so dass $c=a\cup b$.
• Das Set ist ein Verband.
  • Das bedeutet, dass das Set ist beide ein $\cap$ halbes Verband und ein $\cup$ halbes Verband.

Die folgenden Beziehungen halten in einem Verband

$a\cap b=b\cap a$

(1)

$(a\cap b)\cap c=a\cap (b\cap c)$

(2)

$a\cap (a\cup b)=a$

(3)

$a\cup b=b\cup a$

(4)

$(a\cup b)\cup c=a\cup (b\cup c)$

(5)

$a\cup (a\cap b)=a$

(6)

Das Verband hat eine Halbordnung $\subset$:

$a\subset b\Leftrightarrow a\cap b=a$

(7)

Ein komplementäres Verband enthält zwei Elemente  $n$ und $e$ und mit jedem Element $a$ Ein komplementäres Element $a^{'}$ so dass:

$a\cap a^{'}=n$

(8)

$a\cap n=n$

(9)

$a\cap e=a$

(10)

$a\cup a^{'}=e$

(11)

$a\cup e=e$

(12)

$a\cup n=a$

(13)

Ein orthokomplexiertes Verband enthält zwei Elemente $n$ und $e$ und mit jedem Element $a$ ein Element $a^{''}$ so dass:

$a\cup a^{''}=e$

(14)

$a\cap a^{''}=n$

(15)

$(a^{''})^{''}=a$

(16)

$a\subset b\Leftrightarrow b^{''}\subset a^{''}$

(17)

$e$ ist das Einheitselement; $n$ ist das Null-Element des Verbands.

Ein distributives Verband unterstützt die distributive Gesetze:

$a\cap (b\cup c)=(a\cap b)\cup (a\cap c)$

(18)

$a\cup (b\cap c)=(a\cup b)\cap (a\cup c)$

(19)

Ein modulares Verband unterstützt:

$(a\cap b)\cup (a\cap c)=a\cap (b\cup (a\cap c))$

(20)

Ein schwaches modulares Verband unterstützt stattdessen:

Es existiert ein Element $d$ so dass

$a\subset c\Leftrightarrow (a\cup b)\cap c=a\cup (b\cap c)\cup (d\cap c)$

(21)

woher $d$ gehorcht:

$(a\cup b)\cap d=d$

(22)

$a\cap d=n$

(23)

$b\cap d=n$

(24)

$(a\subset g)$ and $(b\subset g)\Leftrightarrow d\subset g$

(25)

In einem Atomares Verband hält

$\exists _{(p\epsilon S)}\forall _{(x\in L)}\{x\subset p\Rightarrow x=n\}$

(26)

$\forall _{(a\in L)}\forall _{(x\in L)}\{(a<x<a\cap p)\Rightarrow (x=a$ or $x=a\cap p)\}$

(27)

p ist ein Atom

Gut bekannte Verbände

Die klassische Logik hat die Struktur eines orthokomplementiertes distributives modulares und atomares Verbandes.

Quantenlogik hat die Struktur eines orthokomplementiertes schwach modular und atomares Verband. Es wird auch ein orthomodulares Verband genannt .

Beide Verbände sind Atomare Verbände. Durch die Relationen entstehen aus die Atome alle andere Elementen des Verbandes.

Das orthomoduläre Verband findet eine Verwirklichung im Satz von geschlossenen Unterräumen eines separablen Hilbertraumes. Die Verbandstruktur dieses Satzes ist isomorph zum orthomodulären Verband.

Die Menge der Strahlen, die von den Mitgliedern einer orthonormalen Basis des Hilbert-Raumes aufgespannt werden, bildet einen vollständigen Satz von Atomen des orthomodulären Verbandes.

Das modulare Konfigurationsverband

Der Satz von geschlossenen Unterräumen des Hilbertraumes ist ein orthomodulares Verband, und es enthält eine Teilmenge, die ein Unterverband ist und die Vertreter der Module als ihre Elemente enthält,

Die Atome dieses Unterverbandes repräsentieren elementare Module. Aus diesen Gründen nennen wir das Unterverband ein modulares Konfigurationsverband .

Alle Module besitzen einen privaten Mechanismus, der die Standorte der elementaren Module bereitstellt, die das Modul enthält. Der Mechanismus wendet einen stochastischen Prozess an, der eine charakteristische Funktion besitzt. Diese charakteristische Funktion entspricht der Überlagerung der charakteristischen Funktionen der Prozesse, die die Orte für die einzelnen Elementarteilchen liefern, die das Modul bilden.

Im Hilbert-Raum repräsentieren einige der Strahlen im Scan-Teilraum die elementar-Module. Diese Strahlen sind gegenseitig orthogonal. In jedem Augenblick bietet ein privater Mechanismus elementare Module mit einem neuen Standort.

In der Schöpfer-Ansicht enthalten Röhren, die Zickzacken mit dem Progressionswert, die Standorte eines entsprechenden Elementar-Modul.