Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/Nabla Operators/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

Nabla speeltuin

edit

De ruimtelijke nabla en quaternionische nabla zijn bijzondere operatoren die een belangrijke rol spelen bij de partiële differentiaalvergelijkingen die het gedrag bepalen van velden in het Hilbert Book Model.

Hier behandelen we drie soorten nabla operatoren.

  1. ruimtelijke nabla  
  2. quaternionische nabla  
  3. Dirac nabla  

De Dirac nabla speelt een rol bij de interpretatie van de  Dirac vergelijking.

Eigenschappen van de ruimtelijke nabla operator

edit

Het nabla product is niet zonder meer associatief. Dus

 

 

 

 

 

(1)

Nabla in verschillende coördinatenstelsels 
edit

De ruimtelijke nabla bestaat in verschillende coördinatenstelsels. In deze sectie wordt de weergave van de quaternionische nabla voor cartesische coördinatensystemen en polaire coördinatensystemen.

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

(3)

Here   zijn de coördinaten met    als coördinaat assen.

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

(8)

Speciale formules
edit

De ruimtelijke nabla operator blijkt gedrag geldt voor alle quaternionische functies waarvoor de eerste orde partiële differentiaalvergelijking bestaat.

Hier gehoorzaamt het quaternionische veld   aan de eis dat de eerste orde partiële differentiaal   bestaat.

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

(16)

Voor constante   en parameter   geldt

 

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

 

(18)

 

 

 

 

 

(19)

 

 

 

 

 

(20)

 

 

 

 

 

(21)

 

 

 

 

 

(22)

Dit geeft de overeenkomsten tussen de Poissonvergelijking en Green's functie..

 

 

 

 

 

(23)

The term   geeft the kromming van veld  .

The term   geeft de stress van het veld  

Eerste orde partiële differentiaalvergelijking

edit
 

 

 

 

 

(24)

De vergelijking is een quaternionische eerste orde partiële differentiaalvergelijking.

De vijf termen aan de rechterzijde geven de componenten die de volledige eerste orde verandering vormen.

Zij vertegenwoordigen deelgebieden van het veld  , en vaak krijgen ze speciale namen en symbolen.

Subvelden

edit

  is de gradient van  

  is de divergentie van  .

  is de rotatie van  

 

 

 

 

 

(25)

(Vergelijking (25) heeft geen equivalent in de vergelijkingen van Maxwell!)

 

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

(27)

 

 

 

 

 

(28)

 

 

 

 

 

(29)

Afleiding van hogere orde vergelijkingen
edit

Met behulp van de eigenschappen van de ruimtelijke nabla operator voert een interessante tweede orde partiële differentiaalvergelijking.

 

 

 

 

 

(30)

 

 

 

 

 

(31)

 

 

 

 

 

(32)

 

 

 

 

 

(33)

 

 

 

 

 

(34)

 

 

 

 

 

(35)

 

 

 

 

 

(36)

 

 

 

 

 

(37)

 

 

 

 

 

(38)

 

 

 

 

 

(39)

Verder

 

 

 

 

 

(40)

Uit bovenstaande formules volgt dat de Maxwell vergelijkingen geen volledige set vormen. Natuurkundigen gebruiken gauge vergelijkingen om Maxwell vergelijkingen completer te maken.

Afleiden van tweede orde partiële differentiaalvergelijking 1 
edit
 

 

 

 

 

(41)

 

 

 

 

 

(42)

 

 

 

 

 

(43)

 

 

 

 

 

(44)

 

 

 

 

 

(45)

 

 

 

 

 

(46)

 

 

 

 

 

(47)

 

 

 

 

 

(48)

 

 

 

 

 

(49)

 

 

 

 

 

(50)

 

 

 

 

 

(51)

 

 

 

 

 

(52)

 

 

 

 

 

(53)

Het merendeel van de termen verdwijnen.

 

 

 

 

 

(54)

Afleiden van tweede orde partiële differentiaalvergelijking 2
edit

We voegen de complexe imaginaire basegetal    bij de ruimtelijke nabla operator  .

 

 

 

 

 

(55)

 

 

 

 

 

(56)

 

 

 

 

 

(57)

 

 

 

 

 

(58)

 

 

 

 

 

(59)

 

 

 

 

 

(60)

 

 

 

 

 

(61)

 

 

 

 

 

(62)

 

 

 

 

 

(63)

 

 

 

 

 

(64)

 

 

 

 

 

(65)

 

 

 

 

 

(66)

 

 

 

 

 

(67)

 

 

 

 

 

(68)

 

 

 

 

 

(69)

Dus ook deze quaternionische tweede orde partiële differentiaalvergelijking splitst in twee eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen. Maar dit zijn geen quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen 

 

 

 

 

 

(70)