Hilbert Book Model Project/Multi-mix Path Algorithm/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

Multi-mix Pad algoritme

Doel

In dit primaire onderzoek, negeren we de acties van het symmetrie gerelateerde veld. Deze acties zijn veel minder woest dan het directe resultaat van het inbedden van individuele locaties van elementaire modules.

De naam “ multi-mix algoritme ” staat voor een alternatief van het algoritme dat bekend staat als “ padintegraal .”

Voor het Multi-mix Pad algoritme, is de naam “padintegraal” in feite een verkeerde benaming. Het algoritme betreft een reeks vermenigvuldigingen die door een som van termen kan worden benaderd.

Aangezien tijdens de regeneratie van het beschouwde object de verplaatsing van het object vrij stabiel verloopt, zal een deel van de vermenigvuldigingsfactoren tot een factor 1 reduceren. De andere factoren zijn komen zeer dicht bij factor 1.

Het resultaat is dat de sequentie reduceert tot een reeks toevoegingen van vele kleine bijdragen. Deze bijdragen zijn de acties van de individuele huppelsprongen van het elementaire module.

Elementaire modules resideren op een individueel symmetriecentrum. Dit is een drijvend platform dat van een eigen parameterruimte voorzien is. Een specifiek mechanisme genereert herhaaldelijk een stochastische wijze de aanvoerplaatsen van de huppellandingslocaties van het elementaire module. Het ingebedde object huppelt langs de elementen van de gegenereerde zwerm van huppellandingslocaties. Een continuum omsluit de huppellandingslocaties. Het pad van het symmetriecentrum ligt op de gemiddelde baan van het ingebedde object. Het mechanisme gebruikt een stochastisch proces dat een karakteristieke functie bezit. De karakteristieke functie implementeert een verplaatsingsgenerator. Dus in eerste benadering, beweegt de zwerm als één samenhangend geheel. De locatie dichtheidsverdeling van de zwerm van huppellandingslocaties is eigenaar van een Fourier-transformatie die gelijk is aan de karakteristieke functie van het stochastische proces.

Deze Fourier transformatie maakt de beschrijving van de baan van de zwerm door een “multi-mix algoritme” mogelijk. Een reeks factoren beschrijft na vermenigvuldiging de gehele baan die het huppelen van het ingebedde object vertegenwoordigt. Elke factor vertegenwoordigt drie sub-factoren. De procedure die aan het multi-mix-algoritme ten grondslag ligt, is gebaseerd op het feit dat een optelling de vermenigvuldiging van factoren die allemaal zeer dicht bij factor 1 liggen kan vervangen.

1. De eerste sub-factor vertegenwoordigt de sprong van configuratieruimte naar de impulsruimte. Het inwendige product van de Hilbert vector die de huidige locatie voorstelt met de Hilbert vector die staat voor de dynamiek van de zwerm voorstelt levert deze sub-factor. Het algoritme neemt aan dat tijdens de lopende regeneratie van de locatiezwerm het impulsmoment constant is.
2. De tweede sub-factor vertegenwoordigt het effect van de huppelsprong in de impulsruimte.
3. De derde sub-factor vertegenwoordigt de sprong terug van de impulsruimte naar de configuratieruimte.

De procedure loopt over het volledige huppelpad. In de reeks van factoren, compenseert de derde sub-factor van de huidige vermenigvuldigingsfactor het effect van de eerste sub-factor volgende vermenigvuldigingsfactor. Hun product is gelijk aan 1.

Wat resulteert is een reeks factoren die zeer dichtbij 1 liggen, en gezamenlijk het effect van de huppelsprongen in de impulsruimte vertegenwoordigen. Omdat het impulsmoment constant wordt beschouwd, kunnen de logaritmen van de termen worden genomen en vervolgens worden toegevoegd aan een globaal bedrag. Op deze manier wordt de vermenigvuldiging gelijk aan de som van de logaritmen van de factoren.

Meer gedetailleerd, betekent de procedure

We veronderstellen dat tijdens de deeltjesgeneratiecyclus, waarin het mechanisme de zwerm $\{a_{i}\}$ produceert, het impulsmoment ${\vec {p}}_{n}$constant is.

Elke huppelsprong geeft een bijdrage aan het pad. Deze bijdragen kunnen worden onderverdeeld in drie stappen per huppelsprongbijdrage:

1. Ga naar Fourier ruimte. Deze handeling levert als sub-factor het inwendig product $\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle$ .
2. Evolueer tijdens een infinitesimale progressiestap naar de toekomst.
   • Vermenigvuldig met de bijbehorende verplaatsingsgenerator ${\vec {p}}_{n}$.
   • De in de configuratieruimte gegenereerde stap is $({\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i})$.
   • De bijdrage van de actie in de Fourier ruimte is sub-factor $\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle$ .
3. Stap terug naar de configuratie ruimte. Deze handeling levert als sub-factor het inwendig product $\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$.

De gecombineerde term draagt ​​een factor

$\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$

(1)

bij. Twee elkaar opvolgende stappen geven tezamen:

$\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle ){\color {Red}\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle \langle {\vec {a}}_{i+1},{\vec {p}}_{n}\rangle }\exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}-{\vec {a}}_{i+1}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}\rangle$

(2)

$=\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}-{\vec {a}}_{i+1}\rangle )\langle {\vec {p}},{\vec {a}}_{i+2}\rangle$

De ${\color {Red}rode}$ termen in het midden reduceren tot factor 1. De overige termen reduceren ook tot eenvoudige combinaties.

Genomen over een volledige generatiecyclus van het deeltje in $N$ stappen resulteert in:

$\prod _{i=1}^{N}\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$

(3)

$\qquad =\langle {\vec {a}}_{1},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}-{\vec {a}}_{1}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}\rangle$

$\qquad =\langle {\vec {a}}_{1},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\int L\,d\tau )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}\rangle$

$\int L\,d\tau \approx \sum _{i=2}^{N}\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle$

(4)

$L=\langle {\vec {p}}_{n},{\dot {\vec {q}}}\rangle$

(5)

Hier staat $L$ bekend als de Lagrangian.

Vergelijking (4) geldt voor de special conditie waarin ${\vec {p}}_{n}$ konstant is. Indien ${\vec {p}}_{n}$ niet konstant is, dan varieert de Hamiltoniaan $H$ met de ruimtelijke locatie.

In de volgende vergelijkingen, negeren we subscript $_{n}$.

${\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}$

(6)

${\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}$

(7)

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}$

(8)

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$

(9)

${\frac {\partial H}{\partial \tau }}=-{\frac {\partial L}{\partial \tau }}$

(10)

${\frac {d}{\partial \tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

(11)

$H+L=\sum _{i=1}^{3}{\dot {q}}_{i}p_{i}$

(12)

In deze vergelijkingen, gebruikten we de echte tijd $\tau$ in plaats van de coördinaattijd $t$.

Het effect van het huppelpad is dat het geometrische midden van het symmetriecentrum over een kleine resulterende afstand ${\vec {a}}_{n}-{\vec {a}}_{1}$ beweegt.

Samen met “lading” $(N\,Q_{n})$ bepaalt deze stap de volgende versie van het impulsmoment ${\vec {p}}_{n}$.

Het resultaat is dat zowel de symmetriegerelateerde velden ${\mathfrak {A}}^{x}$ en het inbedding veld ${\mathfrak {C}}$ invloed uitoefenen op de locatie van het geometrische centrum van het symmetriecentrum ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$.

In dit onderzoek, hebben we de invloed van het symmetrie-gerelateerde veld genegeerd. Dit veld beïnvloedt impulsmoment ${\vec {p}}_{n}$ en de bijbehorende eigenvector $|p\rangle$. Dit betekent dat het product van de rood gekleurde middelste termen is niet meer gelijk is aan 1. In plaats daarvan wijkt het product enigszins af van 1. Het effect kan in de padintegraal worden verrekend. Op deze wijze wordt een kleine langzaam variërende extra bijdrage toegevoegd aan elke volgende term in de sommatie. Deze extra bijdrage is een gladde functie van de progressie en dus is een vloeiende functie van de index van de term.

Het resultaat van de “multi-mix-algoritme” was te verwachten. De “stap” van de zwerm is gelijk aan de som van de huppelsprongen. Het “multi-mix algoritme” is behandeld om de overeenkomst en het verschil aan te tonen met het gangbare begrip van “padintegraal.” De gangbare “padintegraal” wordt over alle mogelijke paden genomen. Het multi-mix algoritme gebruikt uitsluitend het daadwerkelijke huppelpad. Gebruikelijk wordt de gangbare padintegraal geïntroduceerd door uit te gaan van de Lagrangiaan. Hier zijn we begonnen door het “multi-mix-algoritme” uit het huppelpad af te leiden en het “multi-mix-algoritme” resulteert in de Lagrangiaan.